31-letni Kovacević jest wychowankiem zespołu NK Travnik. Później reprezentował barwy FK Sarajewo (wywalczył z tym klubem mistrzostwo kraju w 2015 roku), skąd po trzech kolejnych sezonach trafił do Korony Kielce. W drużynie z województwa świętokrzyskiego zadebiutował w piłkarskiej Ekstraklasie w sezonie 2017/2018. Po dwóch latach zasilił szeregi węgierskiego Ferencvárosu, gdzie zdobył trzy tytuły mistrza Węgier oraz rozegrał kilka spotkań w elitarnej Lidze Mistrzów. 1 lipca 2023 roku wrócił do Polski, dołączając do Rakowa Częstochowa. Łącznie w najwyższej klasie rozgrywkowej w Polsce wystąpił w 109 meczach, w których zdobył 7 bramek i zanotował 8 asyst.
Do Miedzi Kovacević trafił we wrześniu 2024 roku z Rakowa i niemal natychmiast wywalczył sobie miejsce w wyjściowym składzie. Dzięki ogromnemu profesjonalizmowi, wysokim umiejętnościom i doświadczeniu szybko zyskał ogromny szacunek kolegów w szatni i w rundzie wiosennej dzierżył opaskę kapitana. W zakończonym sezonie Adnan zagrał w 27 meczach w barwach Miedzi i strzelił 4 bramki. Nowa umowa wiąże go z Miedzią na kolejne dwa sezony, ale zawiera również opcję warunkowego przedłużenia współpracy na trzeci sezon, a więc do 30 czerwca 2028 roku.
Adnan, dziękujemy za dotychczasowe reprezentowanie Miedzi i życzymy powodzenia w dalszych występach w zielono-niebiesko-czerwonych barwach!